Урок. "Повторення. Розв'язування трикутників"

Урок 1

Тема  Повторення. Розв’язування трикутників

Мета:

•             повторити, систематизувати знання теорем синусів та косинусів, наслідків з теореми синусів та косинусів, алгоритми розв’язування задач на знаходження невідомих елементів трикутника за даними елементами;
•             розвивати творчі здібності , логічне мислення

Рекомендації:

1.     опрацювати теоретичний матеріал;
2.     розглянути приклади розв´язування задач;
3.     виконати тестові завдання;
4.     доповнити свої знання задачами прикладного змісту.

Теоретична скарбничка                   

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів

Застосовується для знаходження:

• невідомих сторін або кутів трикутника;
• радіуса  кола, описаного навколо трикутника

Теорема косинусів

(Презентація)

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними

Застосовується для знаходження невідомих сторін  або кутів трикутника,  діагоналей паралелограма  + = 2 або медіан трикутника.

Наслідок з теореми косинусів

Дано:

∆ АВС

а, в, с – сторони трикутника, причому а – найбільша сторона. Якщо:

1.     < + , то трикутник гострокутний;
2.     = + , то трикутник прямокутний

Якщо > + , то трикутник тупокутний

Наслідок з теореми синусів

Радіус описаного кола трикутника можна обчислити за формулою

а – сторона трикутника, α – протилежний кут.

Прикладна задача № 1

Знайдіть відстань від точки А, що знаходиться на березі, до корабля.

Дано: ; , АВ = а.

Розв’язання

Нехай корабель знаходиться в точці Е, а спостерігач – у точці А. Необхідно визначити відстань АЕ. Побудувавши в точці А прямий кут, необхідно відкласти на березі два рівні відрізки АВ = ВС. У точці С знову побудувати прямий кут, причому спостерігач має йти перпендикуляром доти, доки не дійде до точки  D, з якої корабель Е і точку В буде видно так, ніби вони лежать на одній прямій. Прямокутні трикутники ВСD і ВАЕ рівні, отже, СD = АЕ, а відрізок СD можна безпосередньо виміряти. 

Прикладна задача № 2

Як далеко видно з повітряної кулі, що піднімається на висоту 4 км над Землею (радіус Землі приблизно 6370 км)?

Розв’язання

1. За теоремою про дотичну до кола, дотична перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику, тобто
2.  ОТ= 6370 + 4 = 6374( км).
3. Тоді, за теоремою Піфагора,з трикутника ОРТ, маємо:

ОР² + РТ² = ОТ²,  РТ² = ОТ² – ОР²

РТ= (ОТ – ОР) •(ОТ + ОР)

Відповідь. 112,9 км

Перевір свої знання

Тестове завдання № 1

1 ) У ∆ АВС  АС = 5, ВС = 4, . Знайти АВ

 2 ) У ∆ АВС  , АВ = . Знайти ВС

3 ) У ∆ АВС  . Яка зі сторін трикутника найбільша?

Якщо впорався, то            

Якщо ні, то повернись до теорії і спробуй ще раз.

Розв’язати трикутник – це означає знайти невідомі його сторони і кути за відомими сторонами і кутами.

Основні типи задач на розв’язування трикутників

∆ АВС, a, b,c – сторони трикутника, α, β, γ  - протилежні їм відповідні кути

(Презентація розв’язування основних типів задач)

1.     Дано   b, α, γ. Знайти а, с, β
2.     Дано   b, α, γ. Знайти с, α, β              
3.     Дано a, b,с. Знайти α, β, γ
4.     Дано  а, b, α. Знайти  с, β, γ 

Спробуй ще…

Тестове завдання № 2

1.            Якщо дві сторони трикутника дорівнюють відповідно
   см і 6 см, а кут між ними становить  ,  то третя сторона дорівнює:

2.            Якщо одна сторона трикутника дорівнює 10 см, а прилеглі до неї кути дорівнюють , то сторона, протилежна куту дорівнює:

3.            Якщо в ∆ АВС АВ = 13 см, ВС = 15 см, АС = 14 см, ВD АС, то висота ВD дорівнює:

4.            Якщо дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 8 см, а медіана, проведена до третьої сторони, - 5 см, то третя сторона дорівнює:

Розв’яжи  сам

Задача 1

У  ∆АВС А дорівнює В і дорівнює 50°, АВ= 8 см.

Знайдіть: 1) сторону АС; 2) бісектрису АD;  3) медіану СМ;  4) висоту АH; 5) радіус вписаного кола; 6) радіус описаного кола.

Відповідь. АС6,2 см; АD4,75 см; АH R4,06 cм

Задача 2

Менша сторона трикутника дорівнює 4 см. У трикутник вписано коло, яке ділиться точками дотику зі сторонами на дуги, градусні міри яких відносяться як 7:8:9. Знайдіть дві інші сторони трикутника

Відповідь.5,46 см; 2.

Відповіді до тестових завдань

Тест 1

Шкала оцінювання